Esse blog se destina a todos os nerds que não têm tempo para uma boa vida social, pois são atormentados por não conseguirem resolver os problemas do spoj. Aqui você poderá encontrar soluções comentadas para uma grande variedade de problemas relacionados a competições de programação.
Olá meus amigos nerds. Hoje vamos verificar se dois códigos bancários pertencem a um mesmo banco ou não. Já que é isso que o problema 8709. Fusões nos pede para fazer. Mais especificamente, dados uma lista de bancos e uma série de fusões entre dois bancos, responder se dois bancos (identificados por seus códigos bancários) são o mesmo banco ou não.
Solução
Esse é um problema fácil. Já resolvemos alguns problemas bem parecidos aqui no blog. O único desafio aqui é fazer união de conjuntos de modo eficiente. Isso pode ser feito usando uma dijoint set forest que implementa tanto a operação de union quanto de find de forma eficiente (O(1)).
Olá meus amigos nerds. Hoje vamos brincar com árvores genealógicas para tentar descobrir quantas famílias sobreviveram a guerra de Tróia. Já que é isso que o problema 18552. Famílias de Troia nos pede para fazer. Mais especificamente, dadas as relações de parentesco entre os sobreviventes da guerra de Tróia, determinar quantas famílias sobreviveram.
Solução
Aqui vale um disclaimer, quando eu resolvi esse problema a descrição da entrada estava errada. A primeira linha contem dois inteiros n (número de sobreviventes e m (total de relações entre famílias). Siga o formato dos exemplos que ele está certo.
Uma abordagem modelando o problema com grafos e aplicando uma busca em profundidade (ou largura) resolveria esse problema. Mas eu quero dar uma solução um pouco mais eficiente e simples.
Pense nas famílias como conjuntos, comece com cada sobrevivente como pertencente a um conjunto (formado apenas por ele), quando descobrimos que dois sobreviventes pertencem a uma mesma família faça a união dos conjuntos que esses sobreviventes pertencem. A solução para o problema será o número de conjutos existente ao final. Simples não!? O problema agora é só de como representar os conjuntos de forma que operações de união e pertinência sejam executadas de modo eficiente. Mas isso é justamente o que um dijoint forest set faz, então o problema se torna trivial.
Implementação
Note o uso que fiz dos argumentos de um template para parametrizar o tamanho máximo dos vetores que compõe a classe dsf.
Reuso de código é algo muito desejável em engenharia de software. Muitos pensam que isso não é muito comum em maratonas de programação, mas na verdade tem uma bibliotéca com os algoritmos clássicos implementados ajuda muito.
Hoje aconteceu algo muito engraçado! Como sempre, eu peguei um problema aleatoriamente no spoj e fui resolver (o problema do post anterior :P). Levei pouquissimo tempo para encontrar a solução e quando já tinha a modelagem sabia que precisaria implementar o algoritmo de Kruskal. Eu já havia implementado ele outras vezes. Como é um algoritmo mais longo eu estava com preguiça de fazer isso de novo, então resolvi dar um grep no diretório onde guardo os problemas que já fiz e encontrei tal algoritmo para solucionar o problema 11016. Reduzindo detalhes em um mapa. Até ai tudo normal, mas a coisa engraçada é que o mesmo código (incluindo a parte de entrada e saída) resolvia o problema anterior, ou seja, reuso de código é para os fracos, bom mesmo é reuso de toda a implementação kkk.
Mas especificamente, esse problema pede que dado um mapa de cidades e rodovias que as ligam, selecione um subconjunto das rodovias tal que entre qualquer par de cidades exista uma rota ligando-as e a soma dos comprimentos das rodovias é mínimo.
Solução
Como o problema da árvore geradora mínima e o algoritmo de Kruskal estão fresquinhos em sua cabeça você deve achar esse problema moleza (se não estiverem isso pode ajudá-lo). Não é difícil perceber que o sub conjunto de rodovias pedido é uma árvore. Caso não fosse, ou seja, houvesse algum ciclo no grafo, poderíamos remover a rodovia com maior comprimento o que não causaria a perda da conectividade entre as cidades (sobra o outro caminho) e ainda diminuiria o comprimento total.
Logo a sulução do problema é soma dos pesos da árvore geredora mínima formada.
Olá meus amigos nerds. Hoje vamos ajudar a família Silva a comemorar sua chegada a Marte. Já que é isso que o problema 12999. Frete da Família Silva nos pede para fazer.
Tenho que cumprimentar muito o autor desse problema, ele conseguiu ser extremamente criativo. O problema em si é interessante e o cara fez uma contextualização muito engraçada usando elementos do Chapolim Colorado. Vale até o quote:
"O presidente de Pizzalândia, Lagosta da Silva, ... Resolveu, então, mandar uma família inteira para Marte. No caso, a dele mesmo, a família Silva, provavelmente a mais numerosa do planeta.
Tal família estabeleceu-se em Marte sem problemas, ainda mais com novas invenções que havia por lá. Uma delas era a pílula de nanicolina, substância descoberta naquele planeta, próximo à uma região onde existem pedras voadoras, pedras macias e até pedras falantes. Lendas dizem que algum outro ser extra-terrestre depositou a nanicolina ali num passado distante, enquanto visitava o planeta. O efeito da pílula de nanicolina é a diminuição de tamanho de quem a toma, por um determinado tempo. Tal pílula foi, então, produzida em escala industrial e hoje em dia é distribuída pelos governos marcianos aos colonos que lá residem."
Mas deixando a brincadeira de lado. Mais especificamente, nossa tarefa é determinar o valor mínimo gasto por senhor Lagosta para fazer com que todos os parentes se encontrem.
Solução
Esse é claramente um problema que pede uma modelagem utilizando grafos (colônias = vértices, caminhos = arestas). Além disso, estamos lidando com um grafo ponderado (as 'estradas' tem peso) e conexo, já que sempre existe um caminho entre quaisquer duas colônias.
A primeira coisa a perceber é que, dada um par de cidades, devemos usar o caminho mínimo entre essas cidades para deslocar todos os colonos de uma cidade para a outra.
Como a capacidade dos ônibus é inimitada, nessa viagem podemos aproveitar para levar todos os colonos que estão nos outro vértices do caminho mínimo, já que esse também será o caminho mínimo para eles. Disso deduzimos que nenhuma estrada será usada mais que uma vez.
Do paragrafo anterior, também podemos concluir que o sub grafo formado pelos caminhos de todos os colonos até o ponto de encontro é uma árvore. Caso houvesse um ciclo poderíamos retirar a aresta de maior peso desse ciclo e usar o outro caminho restante para levar as pessoas que estavam nos vértices que a aresta foi removida.
Logo a solução para nosso problema é a árvore que tenha o menor custo (i. e. a soma dos pesos das arestas). Esse é um problema bastante famoso em computação chamado problema da árvore geradora mínima e pode ser resolvido utilizando o algoritmo de Kruskal.
O algoritmo de Kruskal, basicamente, ordena as arestas e depois itera sobre a lista ordenada escolhendo de forma gulosa as arestas que fazem parte da árvore. Assim, a complexidade dele é O(num_arestas*log(num_arestas) + num+arestas) = O(num_arestas*log(num_arestas)). Obs: a operação dsf_union tem custo amortizado O(1). Ela é parte da implementação de um conjunto disjunto, um algoritmo capaz de fazer find e union entre conjuntos de forma eficiente.
Implementação
Veja que, a implementação do algoritmo de Kruskal não é muito complicada. De quebra ainda ganhamos a implementação de um conjunto disjunto de árvores para uso futuro :)
