Olá meus amigos nerds. Hoje vamos ajudar a família Silva a comemorar sua chegada a Marte. Já que é isso que o problema 12999. Frete da Família Silva nos pede para fazer.
Tenho que cumprimentar muito o autor desse problema, ele conseguiu ser extremamente criativo. O problema em si é interessante e o cara fez uma contextualização muito engraçada usando elementos do Chapolim Colorado. Vale até o quote:
"O presidente de Pizzalândia, Lagosta da Silva, ... Resolveu, então, mandar uma família inteira para Marte. No caso, a dele mesmo, a família Silva, provavelmente a mais numerosa do planeta.
Tal família estabeleceu-se em Marte sem problemas, ainda mais com novas invenções que havia por lá. Uma delas era a pílula de nanicolina, substância descoberta naquele planeta, próximo à uma região onde existem pedras voadoras, pedras macias e até pedras falantes. Lendas dizem que algum outro ser extra-terrestre depositou a nanicolina ali num passado distante, enquanto visitava o planeta. O efeito da pílula de nanicolina é a diminuição de tamanho de quem a toma, por um determinado tempo. Tal pílula foi, então, produzida em escala industrial e hoje em dia é distribuída pelos governos marcianos aos colonos que lá residem."
Mas deixando a brincadeira de lado. Mais especificamente, nossa tarefa é determinar o valor mínimo gasto por senhor Lagosta para fazer com que todos os parentes se encontrem.
Tenho que cumprimentar muito o autor desse problema, ele conseguiu ser extremamente criativo. O problema em si é interessante e o cara fez uma contextualização muito engraçada usando elementos do Chapolim Colorado. Vale até o quote:
"O presidente de Pizzalândia, Lagosta da Silva, ... Resolveu, então, mandar uma família inteira para Marte. No caso, a dele mesmo, a família Silva, provavelmente a mais numerosa do planeta.
Tal família estabeleceu-se em Marte sem problemas, ainda mais com novas invenções que havia por lá. Uma delas era a pílula de nanicolina, substância descoberta naquele planeta, próximo à uma região onde existem pedras voadoras, pedras macias e até pedras falantes. Lendas dizem que algum outro ser extra-terrestre depositou a nanicolina ali num passado distante, enquanto visitava o planeta. O efeito da pílula de nanicolina é a diminuição de tamanho de quem a toma, por um determinado tempo. Tal pílula foi, então, produzida em escala industrial e hoje em dia é distribuída pelos governos marcianos aos colonos que lá residem."
Mas deixando a brincadeira de lado. Mais especificamente, nossa tarefa é determinar o valor mínimo gasto por senhor Lagosta para fazer com que todos os parentes se encontrem.
Solução
Esse é claramente um problema que pede uma modelagem utilizando grafos (colônias = vértices, caminhos = arestas). Além disso, estamos lidando com um grafo ponderado (as 'estradas' tem peso) e conexo, já que sempre existe um caminho entre quaisquer duas colônias.
A primeira coisa a perceber é que, dada um par de cidades, devemos usar o caminho mínimo entre essas cidades para deslocar todos os colonos de uma cidade para a outra.
Como a capacidade dos ônibus é inimitada, nessa viagem podemos aproveitar para levar todos os colonos que estão nos outro vértices do caminho mínimo, já que esse também será o caminho mínimo para eles. Disso deduzimos que nenhuma estrada será usada mais que uma vez.
Do paragrafo anterior, também podemos concluir que o sub grafo formado pelos caminhos de todos os colonos até o ponto de encontro é uma árvore. Caso houvesse um ciclo poderíamos retirar a aresta de maior peso desse ciclo e usar o outro caminho restante para levar as pessoas que estavam nos vértices que a aresta foi removida.
Logo a solução para nosso problema é a árvore que tenha o menor custo (i. e. a soma dos pesos das arestas). Esse é um problema bastante famoso em computação chamado problema da árvore geradora mínima e pode ser resolvido utilizando o algoritmo de Kruskal.
O algoritmo de Kruskal, basicamente, ordena as arestas e depois itera sobre a lista ordenada escolhendo de forma gulosa as arestas que fazem parte da árvore. Assim, a complexidade dele é O(num_arestas*log(num_arestas) + num+arestas) = O(num_arestas*log(num_arestas)). Obs: a operação dsf_union tem custo amortizado O(1). Ela é parte da implementação de um conjunto disjunto, um algoritmo capaz de fazer find e union entre conjuntos de forma eficiente.
A primeira coisa a perceber é que, dada um par de cidades, devemos usar o caminho mínimo entre essas cidades para deslocar todos os colonos de uma cidade para a outra.
Como a capacidade dos ônibus é inimitada, nessa viagem podemos aproveitar para levar todos os colonos que estão nos outro vértices do caminho mínimo, já que esse também será o caminho mínimo para eles. Disso deduzimos que nenhuma estrada será usada mais que uma vez.
Do paragrafo anterior, também podemos concluir que o sub grafo formado pelos caminhos de todos os colonos até o ponto de encontro é uma árvore. Caso houvesse um ciclo poderíamos retirar a aresta de maior peso desse ciclo e usar o outro caminho restante para levar as pessoas que estavam nos vértices que a aresta foi removida.
Logo a solução para nosso problema é a árvore que tenha o menor custo (i. e. a soma dos pesos das arestas). Esse é um problema bastante famoso em computação chamado problema da árvore geradora mínima e pode ser resolvido utilizando o algoritmo de Kruskal.
O algoritmo de Kruskal, basicamente, ordena as arestas e depois itera sobre a lista ordenada escolhendo de forma gulosa as arestas que fazem parte da árvore. Assim, a complexidade dele é O(num_arestas*log(num_arestas) + num+arestas) = O(num_arestas*log(num_arestas)). Obs: a operação dsf_union tem custo amortizado O(1). Ela é parte da implementação de um conjunto disjunto, um algoritmo capaz de fazer find e union entre conjuntos de forma eficiente.
Implementação
Veja que, a implementação do algoritmo de Kruskal não é muito complicada. De quebra ainda ganhamos a implementação de um conjunto disjunto de árvores para uso futuro :)
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